Parámetro que define un sistema ecuaciones como determinado o no

Dado el sistema, 

 

a) Para qué valores del parámetro el sistema es compatible determinado?

 Para ser un sistema compatible determinado el rango de la matriz de coeficientes tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada y coincidir con el número de incógnitas. Cómo que tenemos 3 incógnitas y tres ecuaciones, sólo hay que encontrar los valores del parámetro para los cuales el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea diferente de cero.

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes haciendo su determinante,

Si  a al cuadrado - 16 = 0, entonces a = 4 y a = - 4 . Por lo tanto, el sistema es compatible determinado cuándo a es diferente a 4 y -4 . En cambio,  el determinante de la matriz es cero y el rango de la matriz de coeficientes es inferior a 3.

b) ¿Para qué valores del parámetro el sistema es incompatible? 

El sistema no es compatible determinado para a = 4 y a = - 4
 

 Veremos que pasa para a = 4

 

La matriz de coeficientes del sistema es, 

y la matriz ampliada es 

Buscamos una matriz de orden 3 con determinante diferente de cero, 

Así el rango de la matriz ampliada es 3, diferente del rango de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, el sistema es incompatible para a = 4

Si analizamos que sucede para a = - 4, entonces
La matriz de coeficientes del sistema es, 

y la matriz ampliada es 

Buscamos una matriz de orden 3 con determinante diferente de cero, 

Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada es 3, y por los razonamientos anteriores, el sistema también es incompatible para a = - 4.




c) ¿ Para qué valores del parámetro el sistema es compatible indeterminado? 

c) Para ningún valor del parámetro el sistema es compatible indeterminado, como se deduce de los apartados anteriores.  

 
d) Resolvéis el sistema para a = 2:

Y por Gauss,

Hemos llegado a:

Por tanto x = y = z = 1

Por Cramer:

Matriz inversa

En esta entrada calculáis la matriz inversa de , 

y comprobáis que el resultado que habéis obtenido es correcto, es decir comprobáis que .

Primero encontramos el determinante de la matriz,

 

Cómo que es diferente de cero, sabemos que existe . A continuación calculamos la matriz adjunta, 

y transponemos,

.
Multiplicamos por la inversa del determinante y obtenemos,

.

Para comprobar que el resultado es correcto, utilizamos la propiedad 

De forma alternativa, podemos encontrar la matriz inversa por Gauss, 

En el primer paso hemos multiplicado la primera fila por (-2/3) y hemos sumado, multiplicando el resultado por (-1/10). Finalmente sumamos las dos filas para anular -1 de la primera fila, y dividiendo el resultado entre 3 obtenemos la matriz inversa.

 

Búsqueda valores del parámetro el rango matriz sea 3

Dada la matriz , ¿para qué valores del parámetro el rango de la matriz es 3?

Para que el rango de la matriz sea 3, su determinante tiene que ser diferente de cero. Si calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus encontramos,

.

Los valores que anulan este determinante son:

El resto de valores que no anulan el determinante. Así para el determinante es diferente de cero, y por lo tanto el rango de la matriz es 3.

Producto de matrices. 2x2 con 2x3

En esta entrada vamos a  hacer el producto de las matrices A y B. La orden de la matriz A es (2x2) y el de la matriz B es (2x3). Como el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz el producto se puede hacer. Por lo tanto,

Multiplicamos por 2 para obtener , 

Y finalmente sumamos la matriz C transpuesta,