Problema sobre distribución de media muestral

En  una entidad bancaria saben que el número de días de retraso en el pago de las cuotas de los créditos hipotecarios sigue una distribución de media 5 días y desviación estándar 30 días. Elegimos al azar una muestra de 225 clientes con crédito hipotecario.

a) Qué distribución de probabilidad sigue la media de la muestra de 225 clientes?

La distribución de la media de la muestra seguirá una ley normal, aunque la distribución de la población fuera no normal, puesto que la distribución de la media muestral basada en una medida n será aproximadamente normal y cuando n es más grande más normal es la distribución. Está claro, que si la distribución de la población es normal, la distribución de la media muestral también lo será.

Es decir. Con esta premisa podemos decir cuál es la distribución de la media muestral puesto que tenemos que la media de la distribución es 5 días y el error estándar de la muestra es el cociente entre la desviación estándar de la distribución y la raíz cuadrada de la medida muestral, es decir, N(30 / SQR (225)) = 2, o el que es el mismo _N(5,2).



b) Calcular la probabilidad que la media muestral oscile entro 8 y 10 días.

Es decir, el área que queda por debajo de la curva normal definida por los parámetros que caracterizan la distribución de la media muestral: 

; P ( 1,5 < Z < 2,5) à 0,93319 < Z < 0,99379

Es decir, la diferencia entre 0,99379 y 0,93319 es la probabilidad que la media oscile  entre 8 y 10 días.

Y esta es 0,0606. 

c) ¿Cuál es la medida muestral necesaria para garantizar que la probabilidad que la media muestral supere los 10 días sea del 9,68%?

Primero tenemos que buscar el valor de la variable estandarizada Z a las mesas y este es – 1,3.

Segundo, conocemos que la desviación de la media muestral o error estándar es el cociente entre la desviación típica de la distribución y la raíz de la medida de la muestra que buscamos

P ( _X>10) = P ((_X - 5) / (30 / Sqr(n)) > ( 10 - 5 / 30 /sqr(n)) = P (Z > srq(n) / 30 ) = 1 - P ( Z <= sqr (n) /30 = 0,0968

entonces,

P (Z <= 5 * sqr(n) / 30 ) = 1 - 0,0968 = 0,9032 --> sqr (n) / 30 = 1,3 

en donde n = ( 30 * 1,3 / 5) al cuadrado dando 60,84 que representa que 61 días será el tamaño muestral.

 

Cuestiones sobre distribución muestral II

En esta entrada vamos a seguir con dos cuestiones tipo test sobre distribución muestral

Primero, el número de llamadas de teléfonos fijos a móviles al día en un país nórdico tiene una media de 3 y una desviación estándar de 14. Cuál es la probabilidad que la media de las llamadas de fijos a móviles a un municipio con 70 teléfonos fijos sea de 5 llamadas al día o más?

a) 88,4

b) 11,6
c) 100%

d) 2,79%

Segundo, en la tabla  siguiente se muestra la distribución de rentas brutas anuales de una población de 10000 habitantes por intervalos:

Rentas (miles €)	Núm. habitantes
Menos de 20	10%
Entre 20 i 40	40%
Entre 40 i 60	30%
Más de 60	20%

Si se quiere obtener una muestra de 450 personas mediante un muestreo estratificado, cuántos habitantes con rentas entre 20 y 40 mil euros anuales habría que entrevistar?

a) 30.
b) 180

c) 225

d) 135

Para la primera cuestión la solución: b)

Consideramos la variable aleatoria X=”número de llamadas de fijos a móviles al día”. Por el enunciado se sabe que X tiene una media = 3 =X μ y una desviación estándar = 14 =X σ . Se pide calcular una probabilidad sobre la variable aleatoria media muestral y sabemos que, por aplicación del TCL, la media de una muestra grande, n>30, obtenida de una distribución no normal sigue una distribución N(μ;σ/sqr( n) ). Como la medida de la muestra es n=70, la distribución que sigue es N(3;14/sqr( 70))= N(3;1,6733).

Entonces, la probabilidad buscada es del 11,6%:

P ( _X>= 5 ) = P ( (_X – 3 / 1,6733) >= ( 5- 3 ) / 1,6733)) = P ( Z >= 1,2) = 1 – P (Z < 1,2) = 1 – 0,88 = 0,116

Para la segunda solución: b)

El número de habitantes con rentas entre 20 y 40 mil euros anuales que habría que entrevistar es el 40 % de las 450:

40 / 100 * 450 = 180 habitantes.

Cuestiones sobre distribución muestral I

En esta entrada vamos a plantear dos cuestiones tipo test:

Primera, una empresa tiene unos costes variables totales (X) que se distribuyen normalmente, con media 5 y varianza 25. Sus costes fijos (C) se estiman en 3 y los ingresos (Y) se distribuyen también como una variable normal con media 10 y desviación típica 9. Cuál será la probabilidad que su beneficio (B) sea positivo? (Nota: el beneficio se obtiene restando los costes variables y fijos a los ingresos)

a) 0,5753  
b) 0,4247
c) 0,6054
d) 0,3946

Segunda, se ha de razonar cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Por aplicación del Teorema Central del Límite (TCL), la distribución de la media muestral basada en una muestra de medida suficientemente grande será siempre aproximadamente normal.
b) La desviación estándar poblacional de una variable binaria es igual a  raiz cuadrada de pi * ( 1- pi).
c) La media muestral, ,_x, obtenida de una población que no se distribuye según una ley normal, no tiene que seguir necesariamente una ley normal.
d) La media muestral obtenida a partir de una variable binaria y con una medida muestral no está normalmente distribuida.

Para la primera cuestión la solución: a)

Si ingresos=Y, costes variables=X y beneficios=B, tenemos que B=Y-X-3. Se pide encontrar P(B > 0).

Para hacerlo, en primer lugar hay que determinar la distribución de la variable aleatoria beneficio (B):
E(B) = E(Y − X − 3) = E(Y ) − E(X )− 3 = 10 − 5 − 3 = 2
V (B) =V (Y − X − 3) =V (Y )+V (X ) = 81+ 25 = 106

Así, B N(2; 106). Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

P(B>0) = P ( Z > ( 0 – 2 / SQR (106)) ; P  ( Z > - 0,19) = P ( Z < 0,19) = 0,5753

Para la segunda cuestión la solución: d)

La respuesta a) es cierta puesto que el TCL dice que las medias muestrales a partir de cualquier distribución acontecen normalmente distribuidas a medida que aumenta la medida de la muestra.

La respuesta b) es cierta puesto que la desviación estándar de una variable binaria de media π es π (1 −π ) .

La respuesta c) es cierta puesto que por aplicación del TCL para que la media muestral de una distribución no normal siga una distribución normal hace falta que la medida de la muestra sea grande.

La respuesta d) es falsa puesto que cuando n>100, la media o proporción muestral de una variable binaria está normalmente distribuida.