Cuestiones sobre distribución muestral II

En esta entrada vamos a seguir con dos cuestiones tipo test sobre distribución muestral

Primero, el número de llamadas de teléfonos fijos a móviles al día en un país nórdico tiene una media de 3 y una desviación estándar de 14. Cuál es la probabilidad que la media de las llamadas de fijos a móviles a un municipio con 70 teléfonos fijos sea de 5 llamadas al día o más?

a) 88,4

b) 11,6
c) 100%

d) 2,79%

Segundo, en la tabla  siguiente se muestra la distribución de rentas brutas anuales de una población de 10000 habitantes por intervalos:

Rentas (miles €)	Núm. habitantes
Menos de 20	10%
Entre 20 i 40	40%
Entre 40 i 60	30%
Más de 60	20%

Si se quiere obtener una muestra de 450 personas mediante un muestreo estratificado, cuántos habitantes con rentas entre 20 y 40 mil euros anuales habría que entrevistar?

a) 30.
b) 180

c) 225

d) 135

Para la primera cuestión la solución: b)

Consideramos la variable aleatoria X=”número de llamadas de fijos a móviles al día”. Por el enunciado se sabe que X tiene una media = 3 =X μ y una desviación estándar = 14 =X σ . Se pide calcular una probabilidad sobre la variable aleatoria media muestral y sabemos que, por aplicación del TCL, la media de una muestra grande, n>30, obtenida de una distribución no normal sigue una distribución N(μ;σ/sqr( n) ). Como la medida de la muestra es n=70, la distribución que sigue es N(3;14/sqr( 70))= N(3;1,6733).

Entonces, la probabilidad buscada es del 11,6%:

P ( _X>= 5 ) = P ( (_X – 3 / 1,6733) >= ( 5- 3 ) / 1,6733)) = P ( Z >= 1,2) = 1 – P (Z < 1,2) = 1 – 0,88 = 0,116

Para la segunda solución: b)

El número de habitantes con rentas entre 20 y 40 mil euros anuales que habría que entrevistar es el 40 % de las 450:

40 / 100 * 450 = 180 habitantes.