Cuestiones sobre distribución muestral I

En esta entrada vamos a plantear dos cuestiones tipo test:

Primera, una empresa tiene unos costes variables totales (X) que se distribuyen normalmente, con media 5 y varianza 25. Sus costes fijos (C) se estiman en 3 y los ingresos (Y) se distribuyen también como una variable normal con media 10 y desviación típica 9. Cuál será la probabilidad que su beneficio (B) sea positivo? (Nota: el beneficio se obtiene restando los costes variables y fijos a los ingresos)

a) 0,5753  
b) 0,4247
c) 0,6054
d) 0,3946

Segunda, se ha de razonar cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Por aplicación del Teorema Central del Límite (TCL), la distribución de la media muestral basada en una muestra de medida suficientemente grande será siempre aproximadamente normal.
b) La desviación estándar poblacional de una variable binaria es igual a  raiz cuadrada de pi * ( 1- pi).
c) La media muestral, ,_x, obtenida de una población que no se distribuye según una ley normal, no tiene que seguir necesariamente una ley normal.
d) La media muestral obtenida a partir de una variable binaria y con una medida muestral no está normalmente distribuida.

Para la primera cuestión la solución: a)

Si ingresos=Y, costes variables=X y beneficios=B, tenemos que B=Y-X-3. Se pide encontrar P(B > 0).

Para hacerlo, en primer lugar hay que determinar la distribución de la variable aleatoria beneficio (B):
E(B) = E(Y − X − 3) = E(Y ) − E(X )− 3 = 10 − 5 − 3 = 2
V (B) =V (Y − X − 3) =V (Y )+V (X ) = 81+ 25 = 106

Así, B N(2; 106). Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

P(B>0) = P ( Z > ( 0 – 2 / SQR (106)) ; P  ( Z > - 0,19) = P ( Z < 0,19) = 0,5753

Para la segunda cuestión la solución: d)

La respuesta a) es cierta puesto que el TCL dice que las medias muestrales a partir de cualquier distribución acontecen normalmente distribuidas a medida que aumenta la medida de la muestra.

La respuesta b) es cierta puesto que la desviación estándar de una variable binaria de media π es π (1 −π ) .

La respuesta c) es cierta puesto que por aplicación del TCL para que la media muestral de una distribución no normal siga una distribución normal hace falta que la medida de la muestra sea grande.

La respuesta d) es falsa puesto que cuando n>100, la media o proporción muestral de una variable binaria está normalmente distribuida.