Plantear un sistema de ecuaciones

Una empresa fabrica tres artículos, A, B y C, que vende en tres mercados diferentes a los que denominaremos “Mercado Norte”, “Mercado Sur” y “Mercado Centro”. Las unidades vendidas en un día de cada artículo a cada uno de los mercados, vienen dadas por la tabla siguiente:

	Precio	Unidades vendidas mercado norte	Unidades vendidas mercado sur	Unidades vendidas mercado centro
Articulo A	x	4	0	6
Articulo B	y	3	4	2
Articulo C	z	2	1	0

Se pide:

a) Plantear el sistema de ecuaciones que determina el precio de venta de cada uno de los artículos (x,y,z), si sabemos que los ingresos por ventas diarias al Mercado Norte, Mercado Sur y Mercado Centro son 14€, 10€ y 10€ respectivamente.
a) Resolver el sistema de ecuaciones planteado en el apartado anterior.
b) Si el coste de producción unitario del artículo A es 0.5€, el coste del artículo B es de 1€, y el coste del artículo C asciende a 0.75€, cuál es el beneficio que obtiene la empresa en un día?  

Nota: Beneficios = Ingresos – Costes.

a)      El sistema de ecuaciones es:

4x + 3y + 2z = 14
4y + z = 10
6x + 2y = 10

b) Comprobamos si el sistema es compatible determinado haciendo el determinante de la matriz de coeficientes,

Como que es diferente de cero, el rango de la matriz y el de la matriz ampliada coinciden y, además, coinciden con el número de incógnitas. Por lo tanto, es compatible determinado y, dado que el determinante es diferente de cero, podemos aplicar Cramer para encontrar la solución. Así,

Por lo tanto, los precios de los artículos A,B y C son respectivamente de 1uno.m., 2 uno.m. y 2 uno.m.
Si resolvemos por Gauss, al primer paso multiplicando la primera fila por (-6/4) y sumando la tercera, y después multiplicando la segunda fila por (5/8) y sumando la tercera, obtenemos,

 Así tenemos,

Y, por lo tanto, obtenemos x = 1 , y = 2 y z = 2.

c)

Beneficio artículo A = (precio venta unitario - coste unitario) • número de artículos A = (1 - 0.5)•10 = 5

Beneficio artículo B = (precio venta unitario - coste unitario) • número de artículos B = (2 - 1)•9 = 9

Beneficio artículo C = (precio venta unitario - coste unitario) • número de artículos C = (2 - 0.75)•3 = 3.75 

Por lo tanto, el beneficio total es de 5 + 9 + 3.75 = 17.75 un.m.