Probabilidad de aceptación o no de una propuesta

En esta entrada veremos que en un próximo referéndum se vota a favor o en contra de una ordenanza municipal que prohíbe la utilización de reproductores musicales a la calle. Se lleva a cabo un sondeo entre 75 personas elegidas al azar para estimar cuál es el grado de aceptación de la medida y el 60% se muestra a favor de la prohibición.

Primero se va a calcular la probabilidad que el ordenanza municipal sea rechazada usando el programa Minitab en lugar de las tablas (Nota: para rechazar las propuestas legislativas hacen falta como mínimo un 50% de los votos).

Para una muestra grande, la probabilidad de rechazo sigue una distribución aproximadamente normal con una media π = 0,6 y una desviación estándar SQR((pi(1 – pi)/ n) = SQR(( 0,6 * ( 1- 0,6)/75) = 0,0565

Para que la medida sea rechazada hay que determinar la probabilidad de que esta opción obtenga un valor inferior a 0,5 (menos del 50% de los votos)

P ( x <= 0,5) = P ( Z <= 0,5 – 0,6 / 0,0565 = P ( Z < - 1,7668 = 0,0386

Usando el minitab vemos que esta probabilidad es del 4%.

Cumulative Distribution Function

Normal with mean = 0,6 and standard deviation = 0,0566

x P( X <= x )

0,5 0,0386322

Segundo, Sin hacer ningún cálculo con el Minitab, razonáis como se vería afectada la probabilidad de rechazar el ordenanza municipal si en lugar de encuestar 75 personas se hubieran encuestado 150 y también el 60% se hubiera mostrado partidario del ordenanza municipal?

Si la encuesta se hubiera hecho a 150 personas en lugar de a 75, la media seguiría siendo 0,6 pero la desviación estándar sería más pequeña puesto que

SRQ ( 0,6 * (1 – 0,6) / 150 < SQR ( 0,6 * ( 1 – 0,6) / 75 = 0,0566

Por lo tanto, al ser más pequeño el denominador, el valor tipificado obtenido será más grande en valor absoluto pero cómo tendrá signo negativo la probabilidad a la izquierda de este valor será ahora más pequeña. Es decir, al tener una muestra más grande, nos fiamos más del resultado de la encuesta, por lo cual la probabilidad de que el resultado final contradiga la encuesta será menor.

 

Problema sobre distribución de media muestral

En  una entidad bancaria saben que el número de días de retraso en el pago de las cuotas de los créditos hipotecarios sigue una distribución de media 5 días y desviación estándar 30 días. Elegimos al azar una muestra de 225 clientes con crédito hipotecario.

a) Qué distribución de probabilidad sigue la media de la muestra de 225 clientes?

La distribución de la media de la muestra seguirá una ley normal, aunque la distribución de la población fuera no normal, puesto que la distribución de la media muestral basada en una medida n será aproximadamente normal y cuando n es más grande más normal es la distribución. Está claro, que si la distribución de la población es normal, la distribución de la media muestral también lo será.

Es decir. Con esta premisa podemos decir cuál es la distribución de la media muestral puesto que tenemos que la media de la distribución es 5 días y el error estándar de la muestra es el cociente entre la desviación estándar de la distribución y la raíz cuadrada de la medida muestral, es decir, N(30 / SQR (225)) = 2, o el que es el mismo _N(5,2).



b) Calcular la probabilidad que la media muestral oscile entro 8 y 10 días.

Es decir, el área que queda por debajo de la curva normal definida por los parámetros que caracterizan la distribución de la media muestral: 

; P ( 1,5 < Z < 2,5) à 0,93319 < Z < 0,99379

Es decir, la diferencia entre 0,99379 y 0,93319 es la probabilidad que la media oscile  entre 8 y 10 días.

Y esta es 0,0606. 

c) ¿Cuál es la medida muestral necesaria para garantizar que la probabilidad que la media muestral supere los 10 días sea del 9,68%?

Primero tenemos que buscar el valor de la variable estandarizada Z a las mesas y este es – 1,3.

Segundo, conocemos que la desviación de la media muestral o error estándar es el cociente entre la desviación típica de la distribución y la raíz de la medida de la muestra que buscamos

P ( _X>10) = P ((_X - 5) / (30 / Sqr(n)) > ( 10 - 5 / 30 /sqr(n)) = P (Z > srq(n) / 30 ) = 1 - P ( Z <= sqr (n) /30 = 0,0968

entonces,

P (Z <= 5 * sqr(n) / 30 ) = 1 - 0,0968 = 0,9032 --> sqr (n) / 30 = 1,3 

en donde n = ( 30 * 1,3 / 5) al cuadrado dando 60,84 que representa que 61 días será el tamaño muestral.